非線形制御でお世話になるフロベニウスの定理を理解するのが最終目的であるが，その第一ステップとしてベクトル場のディストリビューションが作る積分多様体について色々調べていた時のメモ．

結局のところベクトルが反変なのか共変なのかは，そのベクトルの 成分 が座標変換の際にヤコビアン分の1倍されるのか，それともヤコビアン倍されるのかという違い．

ラウシアンを用いてラグランジュのコマの運動方程式を解く．ラグランジュのコマは可積分なので，数値シミュレーションに向いた綺麗な方程式を導出することができる．またそれを用いて章動や歳差運動の解析を行うことができる．

ラグランジアンに循環座標が存在する場合，それに対応する運動量は保存する．そしてそれらを用いて一般化座標を消去すると，ラグランジアンの変数を2つ減らすことができる．しかしそのままラグランジアンにそれを代入したものを使って残りの変数についてオイラーラグランジュ方程式を立てても，正しい方程式は与えられない．ここでは保存量が見つかった場合に用いる代わりの量，ラウシアンについて説明する．

表題の通りコマの重心周りの自転の運動方程式を解析力学で求める．ニュートン力学でこれを求めるのは厳しいと思う．

ゲージ変換は別に理論物理における崇高な概念というわけではなく，単にオイラーラグランジュ方程式に代入するとゼロになってしまう関数，つまりオイラーラグランジュ方程式にとっては「定数」のように見える関数に過ぎない．つまりラグランジアンはその「定数」の分だけ不定性があるということ．本節では具体的にどのような関数がその条件を満たすのか求めてみる．

一般化力が速度を含むような場合，つまり力がポテンシャルの位置の偏微分のみで表されない場合，一般化ポテンシャルというものを考えることで見かけ上，オイラーラグランジュ方程式を成り立たせることができる．そのような系の例として電磁場が挙げられる．本節では電磁場におけるラグランジアンとハミルトニアンを求める．