一般化力が速度を含むような場合，つまり力がポテンシャルの位置の偏微分のみで表されない場合，一般化ポテンシャルというものを考えることで見かけ上，オイラーラグランジュ方程式を成り立たせることができる．そのような系の例として電磁場が挙げられる．本節では電磁場におけるラグランジアンとハミルトニアンを求める．
ポテンシャルが速度にも依存する場合のオイラーラグランジュ方程式
系の一般化座標を $q^i = q^i (i=1, \cdots, n)$ とすると，オイラーラグランジュ方程式はポテンシャルが $U = U(q)$ のように座標変数のみの関数である場合以下のように表される．
$$ \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \right) - \dfrac{\partial L}{\partial q^i} = 0 $$
しかしポテンシャルが $U = U(q, \dot{q})$ のように一般化速度にも依存する場合，$L = T - U$ より，この方程式は
$$ \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial T}{\partial \dot{q}^i} \right) - \dfrac{\partial T}{\partial q^i} = -\dfrac{\partial U}{\partial q^i} + \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial U}{\partial \dot{q}^i}\right) $$
となるので，一般化力を
$$ \mathcal{F}_i = -\dfrac{\partial U}{\partial q^i} + \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial U}{\partial \dot{q}^i}\right) $$
と表すことができるならばオイラーラグランジュ方程式が同様に成立する．力が速度にも依存する系としては例えば電磁場が挙げられる．
電磁場中の荷電粒子の運動方程式
電磁場における荷電粒子の位置ベクトルを $\boldsymbol{r}$ とするとその運動方程式は
$$ m \dfrac{d^2 \boldsymbol{r}}{dt^2} = e \left( \boldsymbol{E} + \dfrac{\boldsymbol v}{c} \times \boldsymbol{B} \right) $$
である．スカラーポテンシャルを $\Phi(\boldsymbol{r}, t)$ ，ベクトルポテンシャルを $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}, t)$ とするとMaxwellの方程式より
$$\begin{align*} \boldsymbol{E} &= - \nabla \Phi - \dfrac{1}{c} \dfrac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t} \\ \boldsymbol{B} &= \nabla \times \boldsymbol{A} \end{align*}$$
であるので上の運動方程式は以下のように表せる．
$$\begin{align*} m\ddot{\boldsymbol{r}} &= -e\Phi - \dfrac{e}{c}\dfrac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t} + \dfrac{e}{c}\boldsymbol{v} \times (\nabla \times \boldsymbol{A}) \\ &= -e\Phi - \dfrac{e}{c}\dfrac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t} + \dfrac{e}{c} \nabla(\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{A}) \\ &= -\left[ \dfrac{\partial}{\partial \boldsymbol{r}} - \dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial}{\partial \dot{\boldsymbol{r}}}\right] \left( e\Phi - \dfrac{e}{c}(\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{A})\right) \end{align*}$$
ラグランジアンとハミルトニアン
よって先ほどの式と比べると一般化ポテンシャルは
$$ U(\boldsymbol{r}, \dot{\boldsymbol{r}}, t) = e\Phi - \dfrac{e}{c}(\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{A}) $$
とすれば良い(確かに位置だけでなく速度の項も入っている)．よってこの系のラグランジアンは
$$ L(\boldsymbol{r}, \dot{\boldsymbol{r}}, t) = \dfrac{m}{2} \boldsymbol{v}^2 - e \Phi + \dfrac{e}{c}(\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{A}) $$
となります．また一般化運動量は
$$ \boldsymbol{p} = \dfrac{\partial L}{\partial \boldsymbol{v}} = m \boldsymbol{r} + \dfrac{e}{c}\boldsymbol{A} $$
であるので，ハミルトニアンは
$$\begin{align*} H_{L}(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{v}) &= \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{p} - L \\ &= \boldsymbol{v} \cdot \left( m \boldsymbol{v} + \dfrac{e}{c} \boldsymbol{A} \right) - \dfrac{m}{2}\boldsymbol{v}^2 + e\Phi - \dfrac{e}{c}(\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{A}) \\ &= \dfrac{m}{2}\boldsymbol{v}^2 + e\Phi \\ H(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{p}) &= \dfrac{1}{2m}\left( \boldsymbol{p} - \dfrac{e}{c}\boldsymbol{A} \right)^2 + e \Phi \end{align*}$$
となる．
参考
以下の書籍を参考にしました．