ゲージ変換は別に理論物理における崇高な概念というわけではなく，単にオイラーラグランジュ方程式に代入するとゼロになってしまう関数，つまりオイラーラグランジュ方程式にとっては「定数」のように見える関数に過ぎない．つまりラグランジアンはその「定数」の分だけ不定性があるということ．本節では具体的にどのような関数がその条件を満たすのか求めてみる．

ゲージ変換

系の一般化座標を $q^i(i = 1, \cdots, n)$， それに対応するオイラーラグランジュ方程式の演算子 $\mathcal{E}_i$ を以下のように定義する．

$$ \mathcal{E}_i = \dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial}{\partial \dot{q}^i} - \dfrac{\partial}{\partial q^i} $$

仮に2つのラグランジアン $L(q, \dot{q}, t)$ と $L^{\prime}(q, \dot{q}, t) = L + \Omega(q, \dot{q}, t)$ が

$$ \mathcal{E}_i[L] = \mathcal{E}_i[L^{\prime}] $$

を満たしているため，同等の運動方程式を与えるとする．つまり関数 $\Omega$ が

$$ \dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial \Omega}{\partial \dot{q}^i} = \dfrac{\partial \Omega}{\partial q^i} $$

を満たしているとする．このような関数をラグランジアンに足すことをゲージ変換という．

式の展開

以下のように左辺を展開する．

$$ \dfrac{\partial^2 \Omega}{\partial \dot{q}^k \partial \dot{q}^i}\ddot{q}^k + \dfrac{\partial^2 \Omega}{\partial q^k \partial \dot{q}^i}\dot{q}^k + \dfrac{\partial^2 \Omega}{\partial t \partial \dot{q}^i} = \dfrac{\partial \Omega}{\partial q^i} $$

ここで2階微分 $\ddot{q}$ が現れているが，ラグランジアンの一部である $\Omega$，及びその偏微分 $\partial \Omega / \partial q^i$ は2階微分を含まないはず(ラグランジアンはその定義から $q, \dot{q}, t$ のみの関数であるはず)．よってその係数 $\partial^2 \Omega / \partial \dot{q}^k \partial \dot{q}^i$ はゼロであることが必要．従って以下のように表せるはず．

$$\begin{align*} & \dfrac{\partial \Omega}{\partial \dot{q}^i} = \alpha_i (q, t) \\ & \Omega = \dot{q}^i \alpha_i (q, t) + \beta (q, t) \end{align*}$$

これを上の式に再び代入すると

$$ \dot{q}^k \dfrac{\partial \alpha_i}{\partial q^k} + \dfrac{\partial \alpha_i}{\partial t} = \dot{q}^k \dfrac{\alpha_k}{\partial q^i} + \dfrac{\partial \beta}{\partial q^i} $$

となり，係数を比較して

$$\begin{align*} \dfrac{\partial \alpha_i}{\partial q^k} &= \dfrac{\partial \alpha_k}{\partial q^i} \\ \dfrac{\partial \alpha_i}{\partial t} &= \dfrac{\partial \beta}{\partial q^i} \end{align*}$$

が得られる．第1式から

$$ \alpha_i = \dfrac{\partial \Lambda}{\partial q^i}. $$

これと第2式から

$$ \beta = \dfrac{\partial \Lambda}{\partial t} $$

であれば良いことが分かる．つまり元々の関数 $\Omega$ は以下のようにある関数 $\Lambda(q, t)$ の時間微分

$$\begin{align*} \Omega &= \dot{q}^i \dfrac{\partial \Lambda}{\partial q^i} + \dfrac{\partial \Lambda}{\partial t} \\ &= \dfrac{d\Lambda}{dt} \end{align*}$$

であったということになる．よってラグランジアンは任意の関数 $G(q, t)$ を用いて

$$ L^{\prime} \leftarrow L + \dfrac{d G}{dt} $$

と変換しても同等のオイラーラグランジュ方程式を与える．

電磁場の場合

電磁場のラグランジアンをゲージ変換することは，以下のようにスカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルを変換することに置き換えらることができる．$\Lambda = (e/c)\chi$ とすると

$$\begin{align*} L^{\prime} &= \dfrac{m}{2}\dot{\boldsymbol r}^2 - e \left[ \Phi - \dfrac{1}{c}(\dot{\boldsymbol r} \cdot \boldsymbol{A}) \right] + \dfrac{e}{c}\dfrac{d}{dt}\chi \\ &= \dfrac{m}{2}\dot{\boldsymbol r}^2 - e\Phi + \dfrac{e}{c}(\dot{\boldsymbol r} \cdot \boldsymbol{A}) + \dfrac{e}{c}\dfrac{\partial \chi}{\partial t} + \dfrac{e}{c}\dot{\boldsymbol r} \cdot \nabla \chi \\ &= \dfrac{m}{2}\dot{\boldsymbol r}^2 - e \left[ \left(\Phi - \dfrac{1}{c}\dfrac{\partial \chi}{\partial t} \right) - \dfrac{1}{c}(\dot{\boldsymbol r} \cdot (\boldsymbol{A} + \nabla \chi)) \right] \end{align*}$$

よって電磁場においては

$$\begin{align*} & \Phi \Longrightarrow \Phi - \dfrac{1}{c}\dfrac{\partial \chi}{\partial t} \\ & \boldsymbol{A} \Longrightarrow \boldsymbol{A} + \nabla \chi \end{align*}$$

がゲージ変換となる．

その他

最後のところで関数名を $\Lambda$ から $G$ に変えたが，このような変換は変分原理を用いた正準変換の母関数の導出でも用いられる．この関数Gは正準変換における母関数そのもの(?)．