1形式の公式

1形式 $\theta$ とベクトル場 $X, Y$ に関する公式

$$ (d\theta)(X, Y) = X(\theta(Y)) - Y(\theta(X)) - \theta([X, Y]_L) $$

についてのメモ．

微分幾何においては割とよく使われてそうな公式です．左辺の $d\theta$ は2形式なので，$X, Y$ の2つを引数にとっています．右辺の $X(\theta(Y)), Y(\theta(X))$ は，普通の関数になった $\theta(X), \theta(Y)$ をそれぞれ $X, Y$ で方向微分してスカラーにしています．$\theta([X, Y]_L)$ では $X, Y$ のリー微分を $\theta$ でスカラーにしています．

$\theta = \theta_l dq^l, X = X^i \partial_i, Y = Y^i \partial_i$ と成分表示すると，

$$\begin{align*} (d\theta)(X, Y) &= (d\theta_l \wedge dq^l)(X, Y) \\ &= (d\theta_l)(X) \cdot dq^l(Y) - (d\theta_l)(Y) \cdot dq^l(X) \\ &= (\partial_j \theta_l)X^j \cdot Y^l - (\partial_j \theta_l)Y^j \cdot X^l \\ &= (\partial_j \theta_l)(X^j Y^l - X^l Y^j) \end{align*}$$

さらに

$$\begin{align*} (\partial_j \theta_l)(X^j Y^l - X^l Y^j) &= X^j \partial_j(\theta_l Y^l) - Y^j \partial_j(\theta_l X^l) - [(\partial_j Y^l)X^l \theta_l - (\partial_j X^l)\theta_l Y^j] \\ &= X^j \partial_j(\theta_l Y^l) - Y^j \partial_j(\theta_l X^l) - \theta_l[(\partial_j Y^l)X^l - (\partial_j X^l) Y^j] \\ &= X(\theta(Y)) - Y(\theta(X)) - \theta([X, Y]_L) \end{align*}$$

とすることで得られます．