フレネーセレの公式の曲面版としてガウス・ワインガルテンの公式を導入する．
曲線の微分幾何
$t$ をパラメータとする3次元曲線 $(x(t), y(t), z(t))$ の単位速度ベクトルは
$$\begin{align*} ( \dot{x}(t), \dot{y}(t), \dot{z}(t)) \end{align*}$$
であり，さらに線素は
$$\begin{align*} \dfrac{ds}{dt} = \sqrt{\dot{x}^{2}(t) + \dot{y}^{2}(t) + \dot{z}^{2}(t)} \end{align*}$$
である．以降 $\cdot$ は $t$ による微分， $\prime$ による微分は $s$ による微分とする．線素で微分した単位速度ベクトルは
$$\begin{align*} \dfrac{d\boldsymbol{x}(t)}{ds} = \dfrac{dt}{ds} \dfrac{d \boldsymbol{x}(t)}{dt} \end{align*}$$
であり，ノルムは1である．これを $\boldsymbol{e}_t$ とする．
フレネセレーの公式(1次元)
$\boldsymbol{e}_t$ をさらに $s$ で微分する．このとき
$$\begin{align*} | \boldsymbol{e}_t |^2 = 1 \end{align*}$$
の両辺を微分すると $\boldsymbol{e}_t \cdot \boldsymbol{e}_t^{\prime} = 0$ が得られるので， $\boldsymbol{e}_t^{\prime}$ は $\boldsymbol{e}_t$ と垂直である．その大きさを $\kappa$ として，その単位ベクトルを $\boldsymbol{e}_n$ とする．
$$\begin{align*} \boldsymbol{e}_t^{\prime} = \kappa \boldsymbol{e}_n \end{align*}$$
さらに外積をとって $\boldsymbol{e}_b = \boldsymbol{e}_t \times \boldsymbol{e}_n$ とする．これらは互いに垂直な単位ベクトルであり，フレネ・セレ標構と呼ばれる．
その微分について以下が成立する．
$$\begin{align*} \dfrac{d}{ds} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix} \end{align*}$$
証明は略．
曲面の微分幾何
方眼紙に水を吸わせてから乾燥させると，伸縮により各部の長さが変化するため歪む．こういった3次元に埋め込まれた2次元曲面を考える．そのとき方眼紙上の各点は外から見た $(x, y, z)$ で表すこともできるが，もともと方眼紙に描かれていた $(u, v)$ の座標系(目盛りの長さは1cmではなくなっているが)での目盛りの値を使っても指定できる．
こんな感じ
0========1==2=====3===4====5
この座標軸では1.5と2.4の距離が2.4 - 1.5 = 0.9にはならないが，それでも位置を指定することだけなら可能．以下「目盛り」という意味で座標という言葉を用いるほうが理解しやすいと思う．
$(u, v)$ をパラメーターとする2次元曲面 $\boldsymbol{x}(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))$ の上のあるパラメーターの値 $(u, v)$ で指定される点Pにおいて，
$$\begin{align*} \boldsymbol{x}_u &= \dfrac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u} \\ \boldsymbol{x}_v &= \dfrac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial v} \end{align*}$$
は接ベクトルである(u曲線とv曲線沿いの)．この２つのベクトルは特定の方向のベクトルである．
任意の方向(Pを中心とする接触平面上で180度全方向)についての接ベクトルは，$(u, v)$ を通る任意の曲線を考えそれを $\boldsymbol{x}(u(t), v(t))$ として，
$$\begin{align*} \dfrac{d \boldsymbol{x}}{dt} = \boldsymbol{x}_u \dfrac{du}{dt} + \boldsymbol{x}_v \dfrac{dv}{dt} \end{align*}$$
で与えられる．これは
$$\begin{align*} d \boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}_u du + \boldsymbol{x}_v dv \end{align*}$$
と表記されることもある． $du, dv$ の値を動かすことでPを始点とする全方向の接ベクトルを表せる．
第一基本形式
近接する2点 $(u, v), (u + du, v + dv)$ の距離を $ds$ とすると，
$$\begin{align*} ds^2 = d \boldsymbol{x} \cdot d \boldsymbol{x} = (x_{u} \cdot x_{u}) d u^{2}+2(x_{u} \cdot x_{v}) du dv+(x_{v} \cdot x_{v}) d v^{2} \end{align*}$$
ここで
$$\begin{align*} x_{u} \cdot x_{u} \equiv E, \quad x_{u} \cdot x_{v} \equiv F, \quad x_{v} \cdot x_{v} \equiv G \end{align*}$$
とおいて，
$$\begin{align*} d s^{2}=E d u^{2}+2 F d u d v+G d v^{2} \end{align*}$$
を曲面の第一基本形式という．
第二基本形式
座標が $(u, v)$ で表される点Pにおける接平面と，座標が $(u + du, v + dv)$ とする点の間の垂直距離を求めてみる．
これは図から分かるように，x-Pの間のベクトル $d \boldsymbol{x}$ を $\boldsymbol{e}_n$ 方向に射影した長さであるから，
$$\begin{align*} h = d\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{e}_n \end{align*}$$
である．テイラー展開すると
$$\begin{align*} d \boldsymbol{x} &\sim \boldsymbol{x}(u + du, v + dv) - \boldsymbol{x}(u, v) \\ &= \boldsymbol{x}_{u}(u, v) du+\boldsymbol{x}_{v}(u, v) dv+\dfrac{1}{2}(\boldsymbol{x}_{u u} du^{2}+2 \boldsymbol{x}_{u v} du dv+\boldsymbol{x}_{v v} dv^{2}) \end{align*}$$
ここで $\boldsymbol{e} \perp \boldsymbol{x}_{u, v}$ であるから，内積は
$$\begin{align*} 2h = \boldsymbol{x}_{uu} \cdot \boldsymbol{e}_n du^2 + 2\boldsymbol{x}_{uv} \cdot \boldsymbol{e}_n dudv + \boldsymbol{x}_{vv} \cdot \boldsymbol{e}_n dv^2 \end{align*}$$
となる．各係数は以下のように変形できる．
$$\begin{align*} \boldsymbol{x}_{uu} \cdot \boldsymbol{e}_n &=\dfrac{\partial}{\partial u}(\boldsymbol{e}_n \cdot \boldsymbol{x}_{u})-\boldsymbol{x}_{u} \cdot \boldsymbol{e}_{nu}=-\boldsymbol{x}_{u} \cdot \boldsymbol{e}_{nu} \equiv L \\ \boldsymbol{x}_{uv} \cdot \boldsymbol{e}_n &=\dfrac{\partial}{\partial v}(\boldsymbol{e}_n \cdot \boldsymbol{x}_{u})-\boldsymbol{x}_{u} \cdot \boldsymbol{e}_{nv}=-\boldsymbol{x}_{u} \cdot \boldsymbol{e}_{nv} \equiv M \\ \boldsymbol{x}_{vv} \cdot \boldsymbol{e}_n &=\dfrac{\partial}{\partial v}(\boldsymbol{e}_n \cdot \boldsymbol{x}_{v})-\boldsymbol{x}_{v} \cdot \boldsymbol{e}_{nv}=-\boldsymbol{x}_{v} \cdot \boldsymbol{e}_{nv} \equiv N \end{align*}$$
そして
$$\begin{align*} \Pi=L d u^{2}+2 M d u d v+N d v^{2} \end{align*}$$
を曲面の第二基本形式という．これは(duとdvを動かしたときに)曲面が接平面からどれだけ離れるかを示す量．
ガウス標構
以降 $(u, v)$ の代わりに $(u_1, u_2)$ と表記し，それぞれについての偏微分を $\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2$ とする．$\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{e}_n$ の組をガウス標構という．
ガウス・ワインガルテンの公式
フレネーセレの公式では $\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b$ を $s$ で微分した結果を $\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b$ で表していた．ガウス・ワインガルテンの公式では $\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{e}_n$ の $(u, v)$ についての偏微分を，$\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{e}_n$ で表す．そのときに係数としてクリストッフェル記号が出てくる．
$\partial / \partial u$ については
$$\begin{align*} \boldsymbol{x}_{u u}&=\Gamma_{u u}^{u} \boldsymbol{x}_{u}+\Gamma_{u u}^{v} \boldsymbol{x}_{v}+L \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{x}_{v u}&=\Gamma_{v u}^{u} \boldsymbol{x}_{u}+\Gamma_{v u}^{v} \boldsymbol{x}_{v}+M \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_{n u}&=\dfrac{F M-G L}{E G-F^{2}} \boldsymbol{x}_{u}+\dfrac{F L-E M}{E G-F^{2}} \boldsymbol{x}_{v} \end{align*}$$
$\partial / \partial v$ については
$$\begin{align*} \boldsymbol{x}_{u v}&=\Gamma_{u v}^{u} \boldsymbol{x}_{u}+\Gamma_{u v}^{v} \boldsymbol{x}_{v}+M \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{x}_{v v}&=\Gamma_{v v}^{u} \boldsymbol{x}_{u}+\Gamma_{v v}^{v} \boldsymbol{x}_{v}+N \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_{n v}&=\dfrac{F N-G M}{E G-F^{2}} \boldsymbol{x}_{u}+\dfrac{F M-E N}{E G-F^{2}} \boldsymbol{x}_{v} \end{align*}$$