Differential Models

Velocity Constraints on the Configuraiton Space

この章における differential models は, 各点における速度ベクトルに関する制約に置き換わる. 状態変数を拡大して, 1階の微分方程式系に置き換えるため.

Implicit vs Parametric Representations

微分拘束を表現する方法としてはパラメトリックな表現とインプリシットな表現がある. パラメトリックな表現の方が理解しやすく, より有用である. 一方インプリシットな表現は一般的ではあるものの, 扱いが難しい. その違いは.

  • インプリシットな表現は prohibited されている速度ベクトルを表現している
  • パラメトリックな表現は allowed されている速度ベクトルを表現している

Implicit representation

ここでは2次元を例にして速度拘束が具体的にどのようなものであるのか考える.

  • \(\dot{x} > 0\) : これは川の流れに沿ってボートを漕ぐ時のように, 横方向(y)には自由に動けるがx方向には前進しかできない状態. そのため運動の積分曲線はx方向について単調に増加する.
  • \(\dot{x} = 0\) : 各点において, 速度は \((0, \dot{y})\) の形になる. そのためx方向に動けないから, 特定の初期値からy方向にしか動けない
  • \(a \dot{x} + b \dot{y} = 0\) : これは上の例を少し変えたもので, 動ける方向が \((a, b)\) に垂直な方向に限られる.
  • \(a \dot{x} + b \dot{y} + c = 0\) : これは先程の式で0を1に変えただけだが, 運動の様相は大きく変わる. 例えば \(a = b = 1\) にしてみよう. すると \(\dot{y} = -\dot{x} - 1\) になるのだが, 速度ベクトルは以下の図のようになる.