積分と期待値

定義2.1 可測関数

可測関数 \((S, \mathcal{F})\) と \((E, \mathcal{G})\) に対し，関数 \(f: S \rightarrow E\) について \(f^{-1}(B)=\{x \in S: f(x) \in B\} \in \mathcal{F}\) が任意の \(B \in \mathcal{G}\) が成立するとき \(\mathcal{F}\) -可測であるという．

定義2.2 確率変数

確率空間 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) と可測空間 \((E, \mathcal{G})\) に対し \(\Omega\) 上で定義された関数 \(X: \Omega \rightarrow E\) が \(\mathcal{F}\) -可測であるときXを確率変数という．

特に断らない限り可測空間としては \((\mathbb{R}, \mathcal{R}(\mathbb{R}))\) を用いる．

定義2.3 可測関数

可測空間 \((S, \mathcal{M})\) に対し，S上で定義された関数 \(f: S \rightarrow \mathbb{R}\) が \(\mathcal{M}\) -可測であるとは，任意の \(\lambda \in \mathbb{R}\) に対し \(\{x \in S: f(x) \leq \lambda\} \in \mathcal{M}\) となることである．

定義2.4 確率変数から生成された集合族

確率空間 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) 上で定義された可測空間 \((E, \mathcal{G})\) に値をとる確率変数 \(X: \Omega \rightarrow E\) に対し集合族 \(\{X^{-1}(G): G \in \mathcal{G}\}=\{\{\omega \in \Omega: X(\omega) \in G\}: G \in \mathcal{G}\}\) をXから生成された集合族という．

確率変数の \(\mathcal{F}\) -可測性より，Xから生成された集合族は \(\mathcal{F}\) の部分集合である．

Xで記述される事象のみを扱うのであれば， \(\mathcal{F}\) ではなく \(\sigma [X]\) で十分であると言える．

確率変数の意味

1回サイコロを振る試行では標本空間として \(\Omega = \{\omega_1, \cdots, \omega_6\}\) ，σ-加法族としてその冪集合をとる．この方法では，標本空間に 確率変数に期待される性質 を仮定している(個数が6個である)．これは初めからXの値に対する逆像を使って標本空間を定義している．

もう一つの立場では，標本空間 \(\Omega\) を十分大きくとり(例えば要素数を可算無限個)，それぞれの \(\omega in \Omega\) 対して \(X(\omega)\) は1から6のいずれかの値を取るとする．そして \(\sigma [X]\) の上で確率測度を決める．

第二の立場では標本空間を6つの集合に分けただけであり，考える 個別の問題とは無関係に標本空間はアプリオリに存在しており，ランダムネスだけを提供する ．標本空間の点を1つ定めることで確定的な世界が1つ決まる．そして確率変数を定めることでその世界の何に着目するかが決まる．

つまり \(\Omega\) は考えている個別の問題とは関係なくあらゆる確率的な問題の背後にあるランダムネスの源泉としての，あらゆる可能性を表現する集合である．