第5章 対称性¶
5.2 ラグランジアンの対称性¶
システムに対称性があるとは，ある無限小点変換に対してラグランジアンが不変(関数としての代数的な形も変化しない)であるということ．
配位座標 \(\{ q^i \}\) を \(q^i = Q^i + \epsilon f^i (\{ Q \}, t)\) と無限小変換してみる．すると
\[\begin{align*}
\dot{q}^i = \dot{Q}^i + \epsilon \left( \sum_{j=1}^{n} \dfrac{\partial f^i}{\partial Q^j}\dot{Q}^j + \dfrac{\partial f^i}{\partial t} \right)
\end{align*}\]
である．この座標変換によりラグランジアンを \(L(\{q\}, \{\dot{q}\}, t) \rightarrow L^{\prime}(\{Q\}, \{\dot{Q}\}, t)\) のようにして引き戻す．
\[\begin{split}\begin{align*}
L^{\prime}(\{Q\}, \{\dot{Q}\}, t) &= L(\{q\}, \{\dot{q}\}, t) \\ q^i &= Q^i + \epsilon f^i (\{ Q \}, t) \\ \dot{q}^i &= \dot{Q}^i + \epsilon \left( \sum_{j=1}^{n} \dfrac{\partial f^i}{\partial Q^j}\dot{Q}^j + \dfrac{\partial f^i}{\partial t} \right)
\end{align*}\end{split}\]
テイラー展開することにより \(\epsilon^2\) 以上の項を無視すると
\[\begin{split}\begin{align*}
&= L(\{Q\}, \{\dot{Q}\}, t) \\ &+ \sum_{i=1}^{n} \dfrac{\partial L}{\partial Q^i} \cdot \epsilon f^i(\{Q\}, t) \\ &+ \sum_{i=1}^{n} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{Q}^i} \cdot \epsilon \left( \sum_{j=1}^{n} \dfrac{\partial f^i}{\partial Q^j}\dot{Q}^j + \dfrac{\partial f^i}{\partial t} \right)
\end{align*}\end{split}\]
よってラグランジアンの代数的な形が変化しないためには \(\epsilon\) の項がゼロであることが必要．
\[\begin{align*}
\sum_{i=1}^{n} \dfrac{\partial L}{\partial Q^i} \cdot f^i(\{Q\}, t) + \sum_{i=1}^{n} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{Q}^i} \cdot \left( \sum_{j=1}^{n} \dfrac{\partial f^i}{\partial Q^j}\dot{Q}^j + \dfrac{\partial f^i}{\partial t} \right) = 0
\end{align*}\]
これはLの関数形に関する条件であるから，変数をQからqに変更する．
\[\begin{align*}
\sum_{i=1}^{n} \dfrac{\partial L}{\partial q^i} \cdot f^i(\{q\}, t) + \sum_{i=1}^{n} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \cdot \left( \sum_{j=1}^{n} \dfrac{\partial f^i}{\partial q^j}\dot{q}^j + \dfrac{\partial f^i}{\partial t} \right) = 0
\end{align*}\]
これは単純に
\[\begin{align*}
\sum_{i=1}^{n} \left( \dfrac{\partial L}{\partial q^i}f^i + p_i \dot{f}^i\right) = 0
\end{align*}\]
と書ける． \(q^i\) がオイラーラグランジュ方程式の解であるならば， \(\partial L / \partial ^i = \dot{p}^i\) であるから，さらに
\[\begin{align*}
\sum_{i=1}^{n} \dot{p}^i f^i + p_i \dot{f}^i = \dfrac{d}{dt}\sum_{i=1}^{n} p_i f^i = 0
\end{align*}\]
が得られ，保存則
\[\begin{align*}
\sum_{i=1}^{n} p_i f^i = \mathrm{const}
\end{align*}\]
が導かれる．これがネーターの定理なんだけど，与えられたラグランジアンの代数的な形からこういう変数変換を見つけるのが難しい(からあらゆる系について全ての保存量を一発で見つけられるsilver bulletではない)．