簡単な変分問題¶
この章では変分法の導入を行っている．
等しい周で最大面積の長方形¶
長方形の周の長さが一定の時，その面積が最も大きくなるのはどのようなときか?という問題を考える．縦と横の長さをそれぞれ \(x, y\) ，周の長さを \(L\) とおくと
\begin{align*}
& S = xy \\ & 2x + 2y = L
\end{align*}
yを消去すると面積は
\begin{align*}
S = x \left( \dfrac{L}{2} - x \right)
\end{align*}
と表されるから，面積は \(x = L / 4\) のとき最大値となる．
一方別の考え方もある．xが \(\Delta x\) だけ大きくなったとすると，等周であるためにはyが \(\Delta x\) だけ小さくなる．それにより面積は \(\Delta S = y \Delta x - x \Delta x = (y - x)\Delta x\) だけ変化する．ここでもし \(x < y\) ならば \(\Delta x > 0\) にすることで \(\Delta S > 0\) となる．一方 \(x > y\) であるときは \(\Delta x < 0\) とすれば \(\Delta S > 0\) とすれば良い．従って \(x = y\) のとき面積は最大値になる．数式でこれを導くには以下のようにすれば良い．まず．面積の全微分は
\begin{align*}
\Delta S = \dfrac{\partial S}{\partial x}\Delta x + \dfrac{\partial S}{\partial y}\Delta y
\end{align*}
である一方，拘束条件より
\begin{align*}
2\Delta x + 2\Delta y = 0
\end{align*}
であるから
\begin{align*}
\Delta S = \left( -\dfrac{\partial S}{\partial x} + \dfrac{\partial S}{\partial y} \right)\Delta y
\end{align*}
よって停留値をとる条件として
\begin{align*}
\left( -\dfrac{\partial S}{\partial x} + \dfrac{\partial S}{\partial y} \right) = -y + x = 0
\end{align*}
を得る．
微分と変分の交換¶
以降よく用いるのでここで簡単な証明を与えておく．
\begin{align*}
\dfrac{d}{dx}\delta y = \delta \left( \dfrac{dy}{dx} \right)
\end{align*}
まずそれぞれの厳密な計算方法をきちんと考えねばならない．左辺は変関数の微分であるから
\begin{align*}
\lim_{x_2 \to x_1} \dfrac{\delta y(x_2) - \delta y(x_1)}{x_2 - x_1}
\end{align*}
である．一方右辺は \(dy /dx\) の変分であるから，
\begin{align*}
\delta \left( \dfrac{dy}{dx} \right) &= \lim_{x_2 \to x_1}\left( \dfrac{y(x_2) + \delta y(x_2) - (y(x_1) + \delta y(x_1))}{x_2 - x_1} - \dfrac{y(x_2) - y(x_1)}{x_2 - x_1} \right) \\
&= \lim_{x_2 \to x_1}\dfrac{\delta y(x_2) - \delta y(x_1)}{x_2 - x_1}
\end{align*}
よって示された．