静力学¶
ポテンシャルの安定性の項だけまとめた．
異なる座標系で計算したポテンシャルの安定性¶
この章で気になったのはここだけかなあ．
以下のようなポテンシャルを考える．
\begin{align*}
U = \dfrac{1}{2}k(x^2 + y^2)
\end{align*}
このポテンシャルの停留点はもちろん原点 \((x, y) = (0, 0)\) である． これを極座標で考えると
\begin{align*}
U = \dfrac{1}{2}kr^2
\end{align*}
となるから
\begin{align*}
\dfrac{\partial U}{\partial r} = kr = 0
\end{align*}
より同じく原点 \(r = 0\) が停留点になる． また少し違う形のポテンシャル
\begin{align*}
U = \dfrac{1}{4}K(x^2 + y^2)^2 - \dfrac{1}{2}k(x^2 + y^2)
\end{align*}
は極座標で表すと
\begin{align*}
U = \dfrac{1}{4}Kr^4 - \dfrac{1}{2}kr^2
\end{align*}
であり，ポテンシャル安定点は同様に \(r^2 = k / K\) である． ある座標系 \(q\) と別の座標系 \(Q\) で表したポテンシャル \(U(q), \tilde{U}(Q)\) は 同じ位置を表す \(q\) と \(Q\) に対し同じ値をとる．つまり，
\begin{align*}
U(q) = \left. \tilde{U}(Q(q)) \right|_{Q = q}
\end{align*}
が成立する．そのため
\begin{align*}
\dfrac{\partial U(q)}{\partial q_i} = \left. \sum_{j}\dfrac{\partial \tilde{U}(Q(q))}{\partial Q_j}\dfrac{\partial Q_j}{\partial q_i} \right|_{Q = q}
\end{align*}